Formalismos: Análise, comparação e aplicações – Parte II
Referências
A questão sobre quais das noções da lógica simbólica devem ser tomadas como indefiníveis, e quais das proposições como indemonstráveis, é, como o Professor Peano insistiu, até certo ponto arbitrária. Mas é importante estabelecer todas as relações mútuas entre as noções mais simples da lógica, e examinar a consequência de tomar várias noções como indefiníveis.
- $(\forall x \exists y R(x,y) \land \lnot\exists x R(x,x)) \to \exists x \exists y \exists z (R(x,y) \land R(y,z) \land \lnot R(x,z))$ (clique na fórmula e aguarde para obter um tableaux via umsu.de 😁, ilustração cortesia de Danilo)
Como hipóteses da fórmula temos uma relação $R$ que é serial e irreflexiva. Como consequência temos que ela não seria transitiva, isto é, existem $x,y,z$ tais que $R(x,y)$ e $R(y,z)$, porém não seria o caso que $R(x,z)$.
Para um contraexemplo, interprete $R$ como a relação “maior que” $>$ nos números naturais. Ela é serial, isto é, para todo número natural, existe um número que é maior. Ela também é irreflexiva, pois nenhum número natural é maior que si mesmo. Contudo, ela é sim transitiva, isto é, se um número é maior que um segundo, o qual por sua vez é maior que um terceiro, então o primeiro número é maior que o terceiro.