Formalismos: Análise, comparação e aplicações – Parte III

A lógica trivalente de Łukasiewicz, uma solução ao determinismo lógico

No sentido amplo da palavra, o determinismo é a tese que tudo o que existe ou acontece não pode não acontecer, isto é, tudo existe ou acontece por necessidade.

O Princípio da Bivalência diz que só o discurso no qual reside o verdadeiro e o falso é um discurso veritativo. Dito de outro modo, o Princípio da Bivalência estabelece que: toda proposição p, ou bem é verdadeira, ou bem é falsa. A problemática que se instaura inicialmente é: esse princípio é válido para todas as proposições, incluindo as proposições sobre o futuro? Em caso negativo, o princípios não seria aplicado às proposições sobre o futuro. Em caso positivo, o determinismo existiria.

Uma solução elaborada por Łukasiewicz para refutar o Princípio da Bivalência, e, em consequência, refutar o determinismo é adicionar um terceiro Valor de Verdade. Para ele, a proposição poderia ter um terceiro valor, chamado de indeterminado.

Łukasiewicz foi um dos primeiros a propor um sistema lógico em que o Princípio da Bivalência não é mais válido. Como ele próprio diz em sua aula de despedida da Universidade de Varsóvia, a motivação para isso foi evitar o determinismo e o que ele chama de “coerção lógica”.

A solução apresentada por Łukasiewicz foi de rejeitar o Princípio da Bivalência. Isto é, que além de verdadeiro e falso, existiria também um terceiro valor que poderia ser chamado de indeterminado ou possível. Essa indeterminação é ontológica e não epistemológica, ou seja, uma proposição com valor indeterminado não é, de fato, nem verdadeira nem falsa. Ao contrário do caso em que uma proposição possui um valor de verdade, mas não sabemos qual das alternativas é a correta.

O sistema trivalente elaborado por Łukasiewicz é intitulado de L3. Nesse sistema, os conectivos proposicionais ainda são funções de verdade, isto é, são verofuncionais, ao contrário dos operadores modais. A diferença é que são funções de verdade com três valores. É interessante observarmos que ao introduzir uma nova matriz-base para a descrição dos conectivos, Łukasiewicz rejeita tanto o princípio da bivalência, quanto o princípio do terceiro excluído. A bivalência é negada pois o sistema é tri-valorado. E o terceiro excluído é rejeitado porque não é mais válido nesse sistema. A parte sintática do sistema mantém os mesmos operadores da lógica clássica, com as mesmas variáveis proposicionais e a mesma definição de fórmula. Nada se altera. Mas, para que o novo sistema fosse possível, foi preciso considerar uma nova semântica, na qual o cálculo das proposições pudesse resultar um valor indeterminado, ademais de verdadeiro e falso. Portanto, há uma mudança nas tabelas básicas dos operadores, agora com funções de verdade trivalente.

A negação continua sendo falsa, se a formula negada é verdadeira, e verdadeira se a formula negada for falsa. Agora, se uma formula tem o valor indeterminado, sua negação também vai ser indeterminado.

A negação e o condicional são os operadores primitivos do sistema L3. A tabela da implicação foi elaborada estendendo as valorações da lógica clássica. Então, quando α e β recebem valores V e F, o resultado é como na lógica clássica. A diferença está nos casos em que pelo menos uma das fórmulas – ou ambas – recebem o valor I. Por exemplo, se α recebe valor F, então α implica β tem valor V, não importando valor de β. E, quando α é V e β é I, resulta em I. Agora, a parte delicada na matriz é quando α e β recebem valor I. Esperaríamos que α implica β resultasse em valor I também, mas não foi o que Łukasiewicz estabeleceu: nesse caso, ele estipulou que α implica β resulta em valor V. A razão disso é que ele achava que α implica α deveria ser fórmula válida (o que corresponde ao princípio da identidade), isto é, deveria sempre receber o valor V. Portanto, se na tabela resultasse em I quando α e β recebem valor I, α implica α também teria valor I em alguma valoração e não seria mais válida.

Assim como ocorre na logica clássica, em L3 também podemos definir a conjunção usando negação e disjunção: Mas não conseguimos definir a disjunção usando a negação e o condicional, em razão do tratamento diferenciado do condicional.

Algumas equivalências se mantém em L3 e outras não. Ademais, julgamos ser uma das maiores contribuições desse sistema, que certas tautologias da logica clássica não são mais válidas: como o caso do Terceiro Excluído. Pois, quando uma disjunção entre um par de proposições contraditórias recebe o valor Indeterminado, o outro também recebe o mesmo valor Indeterminado, fazendo com que o resultado da disjunção seja igualmente indeterminado. Aplicando as valorações ao princípio da não-contradição, obtemos uma situação semelhante, no sentido que ela não é mais uma contradição. Contudo, isso parece ser uma consequência indesejável do sistema L3.